第9章与无穷共舞

上一次，我们手动计算了\( x^2 \)的导数(Derivative)，得到\( 2x + 1 \)。但根据计算器，官方的导数是\( 2x \)。这是怎么回事？

答案取决于无穷精度的概念。无穷(Infinity)是一个迷人又可怕的概念——有整整一门课（数学分析）专门研究它。我们会避开理论上的细微差别：我们的目标是从实用角度理解无穷如何帮助我们学习微积分(Calculus)。

9.1 洞见：有时无穷是可以测量的

给你出一道快速的脑筋急转弯。两个朋友相距10英里，各自以每小时5英里的速度相向而行。一只蚊子在他们之间快速飞来飞去，从一个人飞到另一个人，来来回回，直到两个朋友击掌，蚊子被压扁。

假设蚊子飞行的速度是每小时20英里。你能算出它在死亡前飞了多远吗？

哎呀。这道题很棘手：一旦蚊子离开第一个人，碰到第二个人，然后转身……第一个人已经走近了！我们需要把无穷多个不断缩小的距离加起来。这个问题看起来解起来痛苦不堪，对吧？

那么，这样推理怎么样：从走路的人的角度来看，他们总共要走一个小时。毕竟，他们一开始相距10英里，而距离以每小时10英里的速度缩小（5英里/小时 + 5英里/小时）。因此，蚊子肯定飞了一个小时，飞了20英里。

哇！我们是不是刚刚找到了一个有无穷多步骤的过程的结果？我想是的！

是时候把我们的逐步思考模式加速了。我们能想象一个有限的形状被拆成无穷多份吗？

当我们有两种视角时（蚊子的视角和走路人的视角），我们可以选择更容易处理的那个。在这个例子中，走路人的整体视角更简单。对于圆来说，思考圆环本身更容易。两种选择都能用，这很好。

再举一个例子：你能把一块蛋糕分成3等份，但只能切成四分之一吗？

这是个奇怪的问题……但有可能！把整个蛋糕切成四份。分给3个人，剩下1块。把剩下的那块再切成四份。再分给3个人，剩下1块。不断重复这个过程：每一步，每个人都得到了相等的一份，剩下的蛋糕也会被平分。这个方案难道不能在3个人之间维持平均分配吗？

我们正在看到无穷X射线和延时视觉背后的直觉：放大后把一个整体变成一个无穷序列。起初，我们可能认为把某物分成无穷多份意味着每一份都是空的。但这不对：数轴可以被无限细分，但1.0和2.0之间的距离是有限的。

为什么即使字母A被像素化了，我们还是能认出它的各种变体？

尽管渲染方式不同，我们看到的是被指向的那个概念。从完美平滑到锯齿状，所有三个版本都在我们脑海中唤起同一个字母A（或者说，用矩形像素写出的字你就读不了了吗？）。一个无穷序列可以指向与我们一次性得到的相同结果。

在微积分中，有详细的规则来确定一组无穷步骤指向什么结果。而且，有些序列是无法求解的。但是，对于这本入门读物，我们将处理表现良好的函数。

我们习惯于在同一个概念的有限表示之间转换（5 = V = IIIII）。现在我们看到，我们可以在一个概念的有限表示和无穷表示之间转换，类似于\( \frac{1}{3} = .333\ldots = .3 \ + \ .03 \ + \ .003 \ + \ \ldots \)。

当我们把一个圆变成环-三角形时，我们说"我们圆中的无穷多个环可以变成组成三角形的无穷多个长条。而得到的三角形很容易测量。"

今天的目标不是成为无穷专家。而是从直觉上理解几个实用的结论：

用微积分的术语来说，这意味着从我们有限（但不断增长）的步骤序列中得出的结论是可信的¹。