一分钟微积分：X射线与延时视觉

我们通常只看表面的形状、公式和情况。微积分(Calculus)给了我们两种深入挖掘的超能力：

X射线视觉(X-Ray Vision)：你能看到模式内部隐藏的碎片。你不只是看到树，你知道它是由年轮组成的，而且就在我们说话的时候，又有一轮正在生长。
延时视觉(Time-Lapse Vision)：你能看到物体未来的路径展现在你面前（很酷，对吧？）。"嘿，那是月亮。接下来几天它会是白色的，但到第六天它会低低地挂在天空中，呈现出我喜欢的颜色。我到时候再拍照。"

那么微积分有什么用呢？嗯，想象一下你可以随意使用X射线或延时视觉。对于我们关心的物体或场景，它是如何组合在一起的？将来会发生什么？

（奇怪的是，我写给漫威关于微积分侠的信至今都石沉大海。）

十分钟学微积分：逐步观察模式

X射线视觉和延时视觉有什么共同点？它们逐步观察模式。X射线展示了内部的各个切片，而延时则把每个未来状态并排展示出来。

这听起来相当抽象。让我们看看圆周长、面积、表面积和体积的公式：

我们隐约觉得这些公式是有关联的，对吧？

让我们打开X射线视觉，看看会引向何方。假设我们知道 $$$\textit{circumference} = 2 \pi r$$$（周长 = 2πr），我们想找出面积的公式。我们能做什么？

这是个棘手的问题。正方形很容易测量，但我们怎么算出一个不断弯曲的形状的大小呢？

微积分来救场了。让我们用X射线视觉来认识到，圆盘其实就是一堆环组合在一起。类似于树干，这是圆面积的"逐步"视图：

这个视角有什么帮助呢？嗯，让我们把那些卷起来的环展开成直线，这样就更容易测量了：

哇！我们有一堆拉直的环，它们形成了一个三角形，这就容易测量多了。（维基百科有一个动画[^1]。）

每个环的高度取决于它原来离中心的距离；离中心3英寸的环的高度将是$$$2 \pi \cdot 3$$$英寸。最小的环差不多就是一个点，根本没有高度。最大的环的高度就是完整的周长（$$$2 \pi r$$$）。

而且因为三角形比圆更容易测量，求面积就不那么麻烦了。"环三角形"的面积 = $$$\frac{1}{2} \textit{base} \cdot \textit{height} = \frac{1}{2} r (2 \pi r) = \pi r^2$$$，这就是圆的面积公式！

我们的X射线视觉揭示了曲线形状内部一个简单、易于测量的结构。我们认识到，一个圆和一组粘在一起的环其实是一回事。从另一个角度看，一个填满的圆盘其实就是一个不断变大的环的"延时摄影"。

还记得学算术吗？你学会了如何数一个数，以及如何与其他数结合（加/减、乘/除、取指数/开方）。严格来说，计数不是必需的，因为我们的穴居人祖先没有计数也"过得不错"（活下来了）。

但是，有了明确的数量概念让我们更容易驾驭这个世界。你不会只有"大"和"小"两堆石头：你有精确的数量。你知道每个猎人能分到多少支箭，或者采集的浆果够不够部落吃。

更妙的是，算术给了我们超越严格计算的隐喻。它让我们对一切事物的描述更加精准，让我们能够澄清从辣度级别和电影评分（1到5）到我们的心情（1到10）。精确的测量是一个有用的概念，一旦见过就难以放弃。

微积分训练我们两种新的隐喻：拆分和粘合。一个模式可以被分离成部分，而这些部分可以逐步组合成完整的模式。

这个观点对生存是必需的吗？不是。但它很有趣。

数字和方程描述我们拥有什么，但微积分解释了让我们到达那里的步骤。我们不只是看到饼干，我们可以看到食谱。

当然，微积分出现在科学中，因为逐步蓝图比拿到最终结果更有用。但在日常场景中，我们有一个很好的视角可以开启：是什么步骤让我们走到这里的？这种方法有什么优点或缺点吗？根据这些步骤，我们下一步要去哪里？

让我们感受一下微积分视角是什么样的。

[^1]: 访问 http://betterexplained.com/calculus/book 获取额外资源的可点击链接。