第8课：玩转平方

第8章 玩转平方

我们已经了解了直线的运作方式：它们每一步的变化量都是相同的。 现在让我们尝试一个更复杂的函数，比如 \( f(x) = x^2 \)。 这是一个更复杂的场景，让我们把它可视化。

想象一下，你正在建造一个正方形花园，几个月后可以种蔬菜、享用黄瓜。 你不确定要做多大。 太小的话，食物不够；但太大的话，你会引起蔬菜黑帮的注意。

你的计划是一英尺一英尺地逐步建造花园，直到看起来合适为止。 假设你从零开始，一直建到一个10 \( \times \) 10的地块：

https://betterexplained.com/wp-content/uploads/calculus/course/lesson5/square

在外行人看来，你只有一个10 \( \times \) 10的花园，它 需要40英尺的周边围栏（10 \( \times \) 4）和100平方英尺的 表土（10 \( \times \) 10）。 （假设表土按平方英尺出售，厚度标准。）

8.1 微积分登场

就这样？ 分析只是算出当前的周长和面积吗？ 不可能。

现在，你应该迫切地想用X射线和延时视觉来看看内部发生了什么。 既然我们也能知道逐步的描述，为什么要满足于静态描述呢？

我们可以很容易地分析周长的行为：

\[ \textit{Perimeter} = 4x \]
\[ \frac{d}{dx} \textit{Perimeter} = 4 \]

周长的变化（\( \frac{dP}{dx} \)）是常数4。 每当 \( x \) 增加1英尺，周长就会增加4英尺。

我们可以把这个过程可视化。 随着正方形变大，我们向外推现有的边，并添加4个角块（黄色部分）：

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可视化是有帮助的，但不是必需的。 在了解了直线的运作方式之后，我们 可以瞥一眼像 \( p = 4x \) 这样的方程，就意识到当 \( x \) 增加1时，\( p \) 会 增加4。

8.2 面积的变化

那么，面积是如何变化的？ 由于正方形还比较新，让我们用X射线来观察它的生长过程：

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我们可以把每次跳跃的大小写出来，就像这样：

\( x \) \( x^2 \) 到下一个正方形的跳跃量
0 0 1 (\( 1^2 - 0^2 = 1 \))
1 1 3 (\( 2^2 - 1^2 = 3 \))
2 4 5 (\( 3^2 - 2^2 = 5 \))
3 9 7
4 16 9
5 25 11
6 36 13
7 49 15

这很有趣。 从 \( 0^2 \) 到 \( 1^2 \) 的差距是 \( 1 \)。 从 \( 1^2 \) 到 \( 2^2 \) 的差距是 \( 3 \)。 从 \( 2^2 \) 到 \( 3^2 \) 的差距是 \( 5 \)。 依此类推——奇数夹在平方数之间！ 这是怎么回事？

https://betterexplained.com/wp-content/uploads/calculus/course/lesson5/area_increase

啊！ 长到下一个尺寸的正方形意味着我们添加了一个水平条和一个垂直条（\( x + x \)）和一个角块（1）。 如果我们当前有一个边长为 \( x \) 的正方形，那么到下一个正方形的跳跃量是 \( 2x + 1 \)。 （如果我们有一个 \( 5 \times 5 \) 的正方形，变成 \( 6 \times 6 \) 将跳跃 \( 2(5) + 1 = 11 \)。 是的，\( 36 - 25 = 11 \)。）

同样，可视化很好，但需要付出努力。 代数可以简化这个过程。

在这个设置中，如果我们把变化量设为 \( dx = 1 \)，我们得到

\begin{eqnarray*} df &=& f(x + 1) - f(x) \\ &=& (x + 1)^2 - x^2 \\ &=& (x^2 + 2x + 1) - x^2 \\ &=& 2x + 1 \end{eqnarray*}

代数毫无障碍地预测了切片的大小。

8.3 积分与蔬菜黑帮

导数(Derivative)获取一个形状、一个切割方向，然后找出切片的模式。 我们能反向工作吗，从切片到形状？ 让我们看看。

假设蔬菜黑帮监视你的表土和围栏订单。 他们不能直接看到你的花园，但他们能从你的购买中推断出什么？

假设他们观察到固定数量的围栏被送来（4, 4, 4, 4…），但表土的订单在增加（1, 3, 5, 7, 9, 11…）。 他们能得出什么结论？

一个低级的打手可能只会把累积的总量加起来（定积分(Definite Integral)）： “嘿，老大，看起来他们建了一个周长40英尺、总面积100平方英尺的花园。”

但这还不够！ 那个打手不知道你想要建造的形状。 他看着一个又一个订单过去，却没有注意到更深层的模式。

犯罪头目就不同了：他想要不定积分(Indefinite Integral)，也就是你遵循的模式。 他足够精明，能在订单到来时追踪模式： “面积在增加1, 3, 5, 7…这遵循 \( 2x + 1 \) 的面积增加模式！”

现在，可能有很多形状的面积可以按 \( 2x + 1 \) 的速度增长。 但是，再加上周长以常数4增加，几次送货后他就怀疑你在建一个正方形花园了。

教父是怎么做到的？ 同样，是通过反向工作。 他已经拆分过足够多的形状（三角形、正方形、矩形等） 所以他有一张巨大的前后对照表，就像古董商一样。

当他看到变化量是 \( 2x + 1 \) 时，正方形（\( x^2 \)）是一个很有可能的候选。 另一个选择可能是两条直角边为 \( x \) 和 \( 2x \) 的直角三角形。 它的面积公式是 \( \frac{1}{2} x \cdot 2x = x^2 \)，所以面积的变化和正方形一样。

当他看到周长稳定地变化4时，他知道周长一定是 \( 4x \)。 啊！ 同时具有这两种性质的形状并不多： 正方形是他的猜测。 （经过足够的练习，你会开始识别常见模式；像Wolfram Alpha这样的工具可以提供帮助。）

现在假设你的订单变了：围栏送货量降到了（2, 2, 2, 2…），而表土订单变成了（20, 20, 20, 20）。 这是怎么回事？ 如果你愿意，可以猜一猜。

准备好了吗？

蔬菜老大算出你改成了一个矩形花园，一边由 \( x \) 决定，另一边固定为20英尺，也就是一个20乘x的矩形。

这个猜测对吗？ 假设这就是模式，让我们测量周长、面积以及它们的变化：

\begin{eqnarray*} \textit{Perimeter} &=& 20 + 20 + x + x = 40 + 2x \\ \frac{d}{dx} \textit{Perimeter} &=& 2 \\ \textit{Area} &=& 20x \\ \frac{d}{dx} \textit{Area} &=& 20 \end{eqnarray*}

哇，完全符合：周长和面积的变化与模式（2, 2, 2…）和（20, 20, 20…）相匹配。 难怪他是教父。

最后，如果教父看到表土订单是（5, 7, 9, 11, 13）呢？ 他可能会认为你仍在建一个正方形（\( 2x + 1 \) 模式），但你是从一个 \( 2 \times 2 \) 的花园开始的。 你的第一次面积跳跃 是5，如果 \( x \) 已经是2的话就会发生这种情况（解 \( 2x + 1 = 5 \)，我们得到 \( x = 2 \)）。

黑帮老大是一位古董商大师：他从你带来的碎片中看到了模式，并迅速确定了原始形状（不定积分）。 打手只能告诉你目前的累计总数（定积分）。

8.4 总结一下

看起来我们已经准备好迎接另一个规则了，来解释平方是如何变化的。 如果我们保持 \( dx \) 不变，我们可以写成：

\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} x^2 &=& \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \\ &=& \frac{(x + dx)^2 - (x)^2}{dx} \\ &=& \frac{x^2 + 2x\cdot dx + (dx)^2 - x^2}{dx} \\ &=& \frac{2x\cdot dx + (dx)^2}{dx} \\ &=& 2x + dx \end{eqnarray*}

好的！ 这是"增加两条边和一个角"的缩写说法。 让我们把这个输入计算机来验证一下：

https://betterexplained.com/wp-content/uploads/calculus/course/lesson5/wolfram_x_squared

呃哦！ 我们手动计算出 \( x^2 \) 的导数是 \( 2x + dx \)（通常是 \( 2x + 1 \)），但计算机说它就是 \( 2x \)。

但是从 \( 4^2 \) 到 \( 5^2 \) 的差不就是 \( 25 - 16 = 9 \) 吗，而不是 \( 8 \)？ 那个角块怎么了？ 谜团仍在继续。

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