14.1 幂法则(Power Rule)

我们已经算出\( \frac{d}{dx}x^2 = 2x \)：

我们可以直观地看到变化，并忽略人为的角落块。 现在，如何直观地理解\( x^3 \)呢？

过程是类似的。 我们可以在每个面上粘一个板来扩展立方体。 「缺失的沟槽」代表伪影，也就是我们的新板会相互作用的地方。

我必须不断提醒自己：沟槽不是真实的！ 它们代表了这一步不会发生的增长。 增长之后，我们把立方体「融化」成它新的总面积，然后再次增长。 计算沟槽会高估这一步发生的增长。 （现在，如果我们被迫采取整数大小的步骤，那么沟槽是需要的——但有了无限可分的小数，我们可以平滑地变化。）

从图中，我们可能会猜测：

这是对的！ 但我们必须直观地看到结果。 像代数这样的抽象让我们能够处理我们无法可视化的场景，比如10维的形状。 几何形状是一个很好的、可视化的起点，但我们需要超越它们。

我们可能会开始用这样的代数来分析一个立方体：

哎呀。 项数增长得太快了，很吓人。 如果我们想要10次方呢？ 当然，有代数捷径，但让我们从整体上思考这个问题。

我们的立方体\( x^3 = x \cdot x \cdot x \)有3个组成部分：边。 把它们叫做a、b和c，这样更容易区分。 凭直觉，我们知道总变化有来自每一边的贡献：

每一边认为自己贡献了什么变化？

• a认为： 我的变化（\( da \)）与其他不动的边（\( b \cdot c \)）结合，得到\( da \cdot b \cdot c \)
• b认为： 我的变化（\( db \)）与其他边结合，得到\( db \cdot a \cdot c \)
• c认为： 我的变化（\( dc \)）与其他边结合，得到\( dc \cdot a \cdot b \)

每个变化都是单独发生的，\( da \)、\( db \)和\( dc \)之间没有「串扰」（这种串扰会产生沟槽，我们想要忽略）。 总变化是：

让我们用原始边\( x \)来写这个。 每条边都是相同的（\( a = b = c = x \)），变化也是相同的（\( da = db = dc = dx \)），所以我们得到：

把它转换成「每dx」的比率，我们有：

太棒了！ 现在，死记硬背的策略是「把指数拉下来，再减1」。 这不是学习！

应该这样想：

• \( x^3 \)有3个相同的视角。
• 当系统变化时，所有3个视角的贡献都是相同的。 因此，导数(Derivative)将是\( 3 \cdot 某个东西 \)。
• 「某个东西」是一条边的变化（\( dx \)）乘以剩余的边（\( x \cdot x \)）。 变化的边从\( x \)变成\( dx \)，指数降低1。

我们可以通过推理得出这条规则！ 例如，\( x^5 \)的导数是什么？

嗯，有5个相同的视角（\( 5 \cdot 某个东西 \)）。 每个视角都是我在变化（\( dx \)），其他4个保持不变（\( x \cdot x \cdot x \cdot x = x^4 \)）。 所以组合视角就是\( 5x^4 \)。

通用幂法则(Power Rule)：

现在我们可以记住这个捷径「把指数拉下来再减1」，就像我们知道在数字后面加个0就是乘以10一样。 一旦你知道了捷径为什么有效，捷径就没问题！

14.2 幂的积分(Integrals of Powers)

让我们尝试对幂进行积分(Integral)，也就是把一组变化反向工程回原始模式。

想象一个建筑工地。 第一天，他们订购了三块1\( \times \)1的木板。 第二天，他们订购了三块2\( \times \)2的木板。 然后三块3\( \times \)3的木板。 然后三块4\( \times \)4的木板。 他们在建造什么？

我猜是一个立方体。 他们在一层一层地建造外壳，也许在沟槽之间填上灌浆把它们粘在一起。

同样，如果我们看到像\( 3x^2 \)这样的一系列变化，我们可以想象正在组装的板来构建一个立方体：

好的——我们用之前的结果反向推导了。 但是普通的\( x^2 \)的积分呢？ 嗯，只要想象一下传入的变化被分成3份：

啊！ 现在我们有3块板（每块是原始大小的1/3），我们可以积分一个更小的立方体。 想象「 incoming材料」被分成3堆来构建边：

如果我们有3堆大小为\( x^2 \)的材料，我们可以做一个全尺寸的立方体。 否则，我们建造一个迷你立方体，只有1/3大。

通用积分规则是：

经过一些练习，你会自动做除法。 但现在你知道为什么需要这样做：我们必须把传入的「变化材料」分配到几个边。 （建一个正方形？ 在2条边之间分配变化。 建一个立方体？ 在3条边之间分配。 建一个4维超立方体？ 打电话给我。）

14.3 商法则(Quotient Rule)

我们已经见过逆运算的导数(Derivative)（「简单除法」）：

还记得蛋糕的比喻吗？ 我们把现有的份额（\( \frac{1}{x} \)）切成\( x \)片，然后送出一片。

现在，我们如何求\( \frac{f}{g} \)的导数？ 系统中的一个组件试图让我们增长，而另一个则把我们分割开。 哪个会赢？

抽象化来拯救我们。 在求\( x^3 \)的导数时，我们把它想象成\( x^3 = a \cdot b \cdot c \)，这帮助简化了相互作用。 不是一堆x相乘的混乱局面，而只是3个不同的视角需要考虑。

同样，我们可以把\( \frac{f}{g} \)重写为两个视角：

我们知道\( a = f \)和\( b = \frac{1}{g} \)。 从这个放大的视角来看，它看起来像一个普通的矩形乘积法则场景：

这是我们的小秘密：\( b \)实际上是\( \frac{1}{g} \)，表现得像除法。 我们只想从大局上思考矩形如何变化。

现在，因为\( a \)只是\( f \)的重命名，我们可以代入\( da = df \)。 但是我们如何替换\( b \)呢？ 嗯，我们有：

啊！ 这就是我们的蛋糕切割。 随着\( g \)增长，我们从\( b \)这边损失了\( db = -\frac{1}{g^2} \cdot dg \)。 总影响是：

这个公式从乘积法则(Product Rule)开始，然后我们代入了它们的真实值。 不妨把\( f \)和\( g \)代回\( (a \cdot b)' \)，得到商法则(Quotient Rule)（又称除法法则）：

许多教科书重新排列了这个关系，像这样：

而我不喜欢它，不，女士，一点也不喜欢！ 这个版本不再像它的祖先乘积法则了。

实际上，商法则是一个用来测试你记忆能力的折磨工具；我很少记得它。 只要把\( \frac{f}{g} \)想成\( f \cdot \frac{1}{g} \)，然后像我们之前那样用乘积法则就行了。

14.4 问题

让我们做一些热身练习来测试我们的技能。 你能解决这些难题吗？

（你可以用Wolfram Alpha检查你的答案，比如d/dx x^4。）

再说一次，不要迷失在符号中。 想想「我有\( x^4 \)——当我让\( x \)变大时，我会看到什么样的变化模式？」

好的！ 反向工作，做一些积分怎么样？

问问你自己，「什么样的原始模式会产生\( 2x^2 \)模式的步骤？」

试错是可以的！ 试一个公式，测试它，然后调整。 就我个人而言，我喜欢把2移到一边，只担心\( x^2 \)的积分：

你怎么知道你是对的？ 求导——你就是古董商！ 我给你带来了碎片模式（\( 2x^2 \)），你需要告诉我它们来自哪个花瓶。 一旦你猜到了一个花瓶，在后面的房间里打碎一个复制品，确保你能得到\( 2x^2 \)。 然后你就会对你的答案有信心了（你的经理也会很高兴的！）。

我们正准备自己推导圆的方程，并重新发现阿基米德(Archimedes)——可能是有史以来最伟大的数学家——的成果。