第4章学习官方术语

我们已经能够用类比（X射线、延时）和图表来描述我们的思维过程：

https://betterexplained.com/wp-content/uploads/calculus/course/lesson3/ring-detail

然而，这是一种非常复杂的交流方式。以下是描述我们直觉概念的官方数学®术语：

https://betterexplained.com/wp-content/uploads/calculus/course/lesson4/table-concept

让我们来看看这些花哨的名字。

4.1 导数

导数(Derivative)是我们用X射线照射形状时得到的切片模式。它由黑色趋势线表示，可能是平坦的、持续上升的、起伏的等等。现在有一个技巧：虽然导数生成了整个切片序列，但我们也可以提取单个切片。

想想像 \( f(x) = x^2 \) 这样的函数。它描述了每一个可能的平方值（1、4、9、16、25等等），我们可以把它们都画在图表上。但是，我们也可以询问 \( f(x) \) 在特定值处的值，比如在 \( x = 3 \) 处。

导数是类似的。官方来说，它是我们用X射线照射形状后得到的完整切片模式。然而，我们可以通过询问某个值处的导数来拉出一个单独的切片。（导数是一个函数，就像 \( f(x) = x^2 \) 一样，数学家们假设你在谈论整个函数，除非你要求一个特定的切片。）

那么，我们需要什么来求导数呢？只需要要拆分的形状，以及切割时要遵循的路径（橙色箭头）。术语是"对某个模式求关于某个方向的导数"。例如：

圆关于半径的导数创建圆环（总是增加的）
圆关于周长的导数创建切片（大小相等的）
圆关于x轴的导数创建木板（先变大，达到峰值，然后变小）

我同意"关于"听起来很正式：尊敬的大人大人半径阁下，我们正是关于您来求导的。数学是绅士的游戏，我想。

求导数也叫"微分(differentiating)"，因为我们在寻找形状增长时连续位置之间的差异。当我们增大圆的半径时，外环就是当前圆盘大小和下一个更大尺寸之间的差。

4.2 积分、箭头与切片

积分(Integral)是将一堆切片粘合在一起（延时）并测量最终结果。例如，我们将圆环粘合在一起（形成一个"环三角形"），看到它累积到 \( \pi r^2 \)，也就是圆的面积。

以下是我们求积分需要的东西：

我们沿着什么方向将步骤粘合在一起？沿着橙色线（在这种情况下是半径）
我们什么时候开始和停止？在箭头的起点和终点（我们从0开始，没有半径，移动到r，即完整半径）
每一步有多大？嗯……每一项都是一个"环"。这还不够吗？

不够！我们需要具体一点。我们一直在说我们把一个圆切成"环"或"披萨片"或"木板"。但这还不够具体；这就像一个烧烤食谱写着"煮肉。调味至 taste。"

也许专家知道该怎么做，但我们需要更多细节。每一步到底有多大（技术上称为"被积函数(integrand)"）？

啊。关于变量的几点说明：

如果我们沿着半径 \( r \) 移动，那么 \( dr \) 是当前步骤中半径的小块
环的高度是周长，即 \( 2 \pi r \)

有几个陷阱需要记住。

首先，\( dr \) 是它自己的变量，而不是"d乘以r"。它表示当前步骤中存在的半径的微小部分。这个符号（\( dr \)、\( dx \) 等）通常与被积函数之间只用一个空格隔开，并且假设它们是相乘的（写作 \( 2 \pi r \ dr \)）。

接下来，如果 \( r \) 是积分中使用的唯一变量，那么 \( dr \) 被假设存在。所以如果你看到 \( \int 2 \pi r \)，这仍然意味着我们在做完整的 \( \int 2 \pi r \ dr \)。（同样，如果涉及两个变量，比如半径和周长，你需要澄清我们使用的是哪一步：\( dr \) 还是 \( dp \)？）

最后，记住 \( r \)（半径）随着我们的延时而变化，从0开始，最终达到其最终值。当我们在步骤的上下文中看到 \( r \) 时，它的意思是"当前步骤的半径大小"，而不是它最终可能具有的最大值。

这些问题极其令人困惑。我更希望我们用 \( r_{dr} \) 来表示"当前步骤的 \( r \)"，而不是一个容易与半径最大值混淆的通用 \( r \)。不幸的是，我们现在不能改变这些符号。

4.3 练习术语

让我们学习像微积分母语者一样说话。以下是我们如何描述我们的X射线策略：

https://betterexplained.com/wp-content/uploads/calculus/course/lesson4/table-symbols

记住，导数只是将形状分成（希望是）易于测量的步骤，比如大小为 \( 2 \pi r \ dr \) 的环。我们拆开了我们的乐高套装，零件散落在地板上。我们仍然需要一个积分来将这些部件粘合在一起并测量新的大小。这两个命令是一个双打组合：

导数说："好的，我帮你把形状拆开了。它看起来像一堆 \( 2 \pi r \) 高、\( dr \) 宽的碎片。"
积分说："哦，这些碎片看起来像一个三角形——我可以测量它！那个三角形的总面积是 \( \frac{1}{2} \textit{底} \cdot \textit{高} \)，在这种情况下算出是 \( \pi r^2 \)。"

以下是我们如何编写积分来测量我们所做的步骤：

https://betterexplained.com/wp-content/uploads/calculus/course/lesson4/table-formal-steps

几点说明：

通常，我们将被积函数写为未指定的"披萨片"或"木板"（如果你愿意，可以使用听起来正式的名字，如 \( s(p) \) 或 \( b(x) \)）。首先，我们设置积分，然后我们担心木板或切片的确切公式。
因为每个积分代表来自我们原始圆的切片，我们知道它们将是相同的。粘合任何一组切片应该总是返回总面积，对吧？
积分通常被描述为"曲线下的面积"。这是准确的，但目光短浅。是的，我们正在将曲线下的矩形切片粘合在一起。但这完全忽略了前面的X射线和延时思维。为什么我们首先要处理一组切片而不是曲线呢？最有可能的是，因为那些切片比分析形状本身更容易（你如何"直接"测量一个圆？）。