12.1 加法

让我们从简单的开始：一个由两个相加组件组成的系统如何表现？

在现实世界中，这可能是派两个朋友（弗兰克和乔治）去建一道栅栏。 假设弗兰克负责木材，乔治负责油漆。 总成本是多少？

整个系统的导数(Derivative) \( \frac{dt}{dx} \) 是每增加一英尺的成本。 凭直觉，我们猜测总增量是各部分增量之和：

这个关系说得通，对吧？ 假设弗兰克的木材成本是每英尺3美元，乔治的油漆成本是每英尺0.50美元。 如果我们再加一英尺，总成本将增加3.50美元。

下面是这个结果的数学推导：

• 原始值：\( f + g \)
• 新值：\( (f + df) + (g + dg) \)
• 变化量：\( (f + df) + (g + dg) - (f + g) = df + dg \)

在我的脑海中，我想象\( x \)（你要求的数量）在角落里悄悄地变化。 这在\( f \)（大小为\( df \)）和\( g \)（大小为\( dg \)）中产生了可见的变化，我们看到总变化是\( df + dg \)。

似乎我们应该一开始就把总数合并起来，写成\( 总数 = 3.5x \) 而不是 \( 总数 = f(x) + g(x) = 3x + 0.5x \)。 通常，我们会简化方程，但有时列出每一项贡献（总数 = 基础 + 运费 + 税）是有帮助的。 在我们的例子中，我们看到弗兰克对价格的贡献最大。

记住导数是「每\( dx \)」的比率，我们写成：

但是呃，看看这些符号！ 让我们简化一下：

• 用\( f \)代替\( f(x) \)。 我们假设单个字母代表整个函数，根据数学大教皇的第三号法令，我们的函数将使用参数\( x \)。
• 我们将用单引号（\( f' \)）来表示导数，而不是用比率（\( \frac{df}{dx} \)）。 我们最感兴趣的是各部分之间的关系（加法），而不是各部分本身的细节。

所以现在加法法则变成：

好多了！ 我是这样理解的：取一个由几部分组成的系统：\( (f + g) \)。 整个系统的变化\( (f + g)' \)可以通过将每一部分的变化相加得到。

12.2 乘法

让我们尝试一个更棘手的场景。 如果输入不是相加的（几乎互不影响），而是相乘的呢？

假设弗兰克和乔治正在为你建造一个矩形花园。 弗兰克负责宽度，乔治负责高度。 每当你拍手，他们就移动……但移动的距离不同！

弗兰克的步长是3英尺，但乔治的步长只有2英尺（动物园饲养事故，别问）。 我们如何描述这个系统？

我们有线性部分，所以导数很简单：\( f'(x) = 3 \) 和 \( g'(x) = 2 \)。 下一次拍手会发生什么？

看起来很熟悉！ 我们有一个水平条、一个垂直条和一个角落块。 我们可以用代数计算出数量：

• 原始值：\( f \cdot g \)
• 新值：\( (f + df) \cdot (g + dg) = (f\cdot g) + (f\cdot dg) + (g\cdot df) + (df\cdot dg) \)
• 变化量：\( f\cdot dg + g\cdot df + df\cdot dg \)

让我们更仔细地看看这个变化：

• 水平条是当\( f \)变化了（变化量为\( df \)）而\( g \)保持不变时产生的
• 垂直条是当\( g \)变化了（变化量为\( dg \)）而\( f \)保持不变时产生的
• 角落块（\( df \cdot dg \)）是当一个组件的变化（\( df \)）与另一个组件的变化（\( dg \)）相互作用时产生的

角落块是我们的样本测量自身缠绕产生的，应该被移除。 （如果我们被迫以整单位移动，那么角落是可以的。 但大多数现实世界的系统可以连续变化，可以是任意小数，我们希望移除测量伪影。）

为了找到总变化，我们去掉\( df \cdot dg \)项（变化之间的干扰），得到：

我不会让你忘记导数是「每 dx」的基础，所以我们写成：

有一个隐含的「x」在远处变化，使得\( f \)和\( g \)移动。 我们隐藏这些细节是为了让符号更简单。

用英语说就是：取一个由相乘部分组成的场景。 当它们变化并继续相乘时，把形成的新的水平条和垂直条加起来。

让我们试试这个法则：如果我们有一个12\( \times \)8的花园，并且增加一整步，我们会看到什么变化？

在这种情况下，我们将使用法则的离散版本，因为我们被迫以整步移动：

• 垂直条：\( f \cdot dg = 12 \cdot 2 = 24 \)
• 水平条：\( g \cdot df = 8 \cdot 3 = 24 \)
• 角落块：\( df \cdot dg = 3 \cdot 2 = 6 \)
• 总变化：\( 24 + 24 + 6 = 54 \)

让我们验证一下。 我们从12\( \times \)8（96平方英尺）变成15\( \times \)10（150平方英尺）。 是的，面积增加了150 - 96 = 54平方英尺！

12.3 简单除法（逆运算）

逆运算可能很难直观想象：随着\( x \)变大，\( \frac{1}{x} \)变小。 让我们慢慢来。

假设你正在和弗兰克分享一块蛋糕。 你刚把它切成两半，正要咬一口……乔治慢吞吞地走进来。 他看起来很不高兴，而你可不想提到那几道新鲜的爪痕。

但你刚把蛋糕切成两半，你能怎么办？

再切一次。 你和弗兰克可以把你们现有的那份切成三份，给乔治一块：

太棒了！ 现在每个人都有总数的1/3。 你放弃了你那份（1/2）的1/3，也就是说，你们每人给了乔治总数的1/6。

开吃时间！ 但就在你正要咬一口的时候……蔬菜教父走了进来。 哦，他肯定想要一块。 你怎么办？

再切一次。 每个人把他们的那份挤在一起，切成四份，然后把一份给教父。 蛋糕又被平均分配了。

这是应用于除法的逐步思考：

• 你最初的份额是\( \frac{1}{x} \)（当x=2时，你有1/2）
• 有人走进来
• 你的新份额变成\( \frac{1}{x + 1} \)

你的蛋糕量变了多少？ 嗯，你把你原来的那片（\( \frac{1}{x} \)）切成了新的块数（\( \frac{1}{x + 1} \)），然后送出了一块（变化是负的）：

我们大概可以猜到+1是一个测量伪影，因为我们强制x发生了整数变化。 如果我们把测试变化称为dx，我们可以找到新量（\( \frac{1}{x+1} \)）和原始量（\( \frac{1}{x} \)）之间的差：

找到总变化（及其烦人的代数运算）后，我们除以dx得到「每dx」的变化：

现在我们去掉剩余的dx，也就是测量伪影：

呼！ 我们已经找到了1/x的分配随着更多人加入时如何变化。

让我们试试：你要在5个人之间分摊1000美元的账单。 第6个人进来了，你能省多少钱？

你个人会节省1/5 \( \cdot \) 1/6 = 总费用的1/30（把你的份额切成6块，让新来的人付一份）。 大约是3%，也就是30美元。 快速计算还不错！

让我们反过来算：当我们每人节省约100美元时，我们的团队有多大？ 嗯，100美元是总数的1/10。 因为\( \frac{1}{3^2} \sim \frac{1}{10} \)，我们会在x=3人左右达到这个储蓄率。

是的，从3人到4人意味着每人的份额从333.33美元降到250美元——大约100美元。 不错！ （如果我们可以分数式地增加人数，我们可以精确达到这个数字。）

12.4 问题

我们没有明确讨论按常数缩放，比如求\( f(x) = 3x \)的导数。 你能用乘积法则(Product Rule)算出它如何变化吗？ （提示：想象一个一边固定为3，另一边为\( x \)的矩形）。

那么，加法法则呢？ \( f(x) = x + x + x \) 会如何表现？