第6章 改进算术与代数
我们已经直观地了解了微积分(Calculus)如何用逐步的视角来剖析问题。 既然我们已经有了正式的符号，让我们看看如何将算术和代数提升到新的水平。
6.1 更好的乘法与除法
乘法让加法变得更简单。 不用费力地计算像 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 这样的问题，我们可以把它改写为：2 \( \times \) 13。
太棒了。 如果你想要一个数的13份，就这么写！
乘法让重复加法变得更容易。 但有一个很大的限制：我们必须使用相同的、平均大小的部分。
- 2 \( \times \) 13 等于多少？ 它是相同元素的13个副本。
- 100 / 5 等于多少？ 它是将100分成5个相等的部分。
相同的部分对于教科书场景来说没问题，比如你以稳定的30英里/小时的速度行驶了整整3小时。 现实世界并非如此平稳。 微积分(Calculus)让我们能够根据形状的实际数量而非平均数量来累积或分割形状：
- 导数(Derivative)是一种更好的除法，它沿着路径分割形状（可能分成不同大小的切片）
- 积分(Integral)是一种更好的乘法，它累积一系列步骤（可能是不同大小的）
| 运算 | 示例 | 说明 |
| 除法 | \( \dfrac{y}{x} \) | 将整体分成相同的部分 |
| 微分(Differentiation) | \( \dfrac{d}{dx} y \) | 将整体分成（可能不同的）部分 |
| 乘法 | \( y \cdot x \) | 累积相同的步骤 |
| 积分(Integration) | \( \int y \ dx \) | 累积（可能不同的）步骤 |
让我们再次分析我们的圆转环示例。 算术/代数与微积分相比如何？
除法返回我们模式中平均大小的环。 导数(Derivative)给出了一个公式（\( 2 \pi r \)），它描述了每一个环（只需代入r即可）。 同样，乘法让我们将平均元素（一旦找到）放大到完整数量。 积分(Integral)让我们直接将模式相加。
有时我们想使用平均项，而不是复杂的微积分步骤，因为它是整体的更简单表示（"平均交易规模是多少？ 我不需要完整的清单。"）。 这没问题，只要这是一个有意识的选择。
6.2 更好的公式
如果微积分提供了更好、更具体的乘法和除法版本，我们难道不应该用它来重写公式吗？ 当然应该。
| 代数(Algebra) | 微积分(Calculus) |
| \( \textit{distance} = \textit{speed} \cdot \textit{time} \) | \( \textit{distance} = \int \textit{speed} \ dt \) |
| \( \textit{speed} = \dfrac{\textit{distance}}{\textit{time}} \) | \( \textit{speed} = \dfrac{d}{dt} \textit{distance} \) |
| \( \textit{area} = \textit{height} \cdot \textit{width} \) | \( \textit{area} = \int \textit{height} \ dw \) |
| \( \textit{weight} = \textit{density} \cdot \textit{length} \cdot \textit{width} \cdot \textit{height} \) | \( \textit{weight} = \iiint \textit{density} \ dx \ dy \ dz \) |
像 \( \textit{distance} = \textit{speed} \cdot \textit{time} \) 这样的方程解释了如何在假设平均速度的情况下求总距离。 像 \( \textit{distance} = \int \textit{speed} \ dt \) 这样的方程告诉我们如何通过将时间分解为瞬间（沿"t"轴分割），并累积每个瞬间（可能是唯一的）行驶的距离（\( \textit{speed} \cdot dt \)）来求总距离。
同样，\( \textit{speed} = \frac{d}{dt} \textit{distance} \) 解释了我们可以将轨迹分割成时间段，而我们在那个时间片内移动的（可能是唯一的）量就是速度。
被过度使用的"积分是曲线下的面积"这一解释变得更加清晰。 乘法因为处理的是静态量，只能测量矩形的面积。 积分(Integral)让测量可以随着我们的前进而弯曲和起伏：无论如何，我们都会累加它们的贡献。
一系列乘法变成了一系列积分（称为三重积分(triple integral)）。 这超出了本入门教程的范围，但你的猜测是正确的：我们可以模仿乘法，连续进行几次积分。
数学，特别是微积分，是科学的语言，因为它能极好地描述关系。 当我看到一个带有积分或导数的公式时，我会在心里把它转换成乘法或除法（记住我们可以处理不同大小的元素）。
6.3 更好的代数
代数(Algebra)让我们从一个事实开始，系统地推导出其他事实。 想象一下，我想知道一个未知正方形的面积。 我无法测量面积，但我无意中听到有人说它的边长是13.3英寸。
| 代数(Algebra) | 思考过程 |
| \( \textit{Area of square} = ? \) | 这个正方形的面积是未知的…… |
| \( \sqrt{\textit{Area}} = 13.3 \) | ……但我知道平方根。 |
| \( \left(\sqrt{\textit{Area}}\right)^2 = \left(13.3\right)^2 \) | 两边平方…… |
| \( \textit{Area} = 176.89 \) | ……然后我可以重新得到原始面积 |
还记得吗？除了加/减/乘/除，我们还可以进行幂运算和开方？ 我们增加了两种新的方程变换方式。
嗯，微积分用另外两种运算扩展了代数：积分和导数。 现在我们可以用代数风格来计算圆的面积了：
| 代数 + 微积分 | 思考过程 |
| \( \textit{Area of circle} = ? \) | 圆的面积是未知的…… |
| \( \dfrac{d}{dr} \textit{Area} = 2 \pi r \) | ……但我知道它可以（沿半径）分割成环 |
| \( \int \dfrac{d}{dr} \textit{Area} = \int 2 \pi r \) | 两边积分…… |
| \( \textit{Area} = \pi r^2 \) | ……然后我可以重新得到原始面积 |
简化的符号有助于看清全局。 如果被积函数(integrand)只使用一个变量（如 \( 2 \pi r \)），我们可以假设我们使用的是从 \( r=0 \) 到 \( r=r \) 的 \( dr \)。 这有助于我们把积分和导数想象成平方和平方根：可以相互抵消的运算！
这相当巧妙："粘在一起"和"分开"应该是相反的行为，对吧？
使用我们更简单的符号，我们可以写成 \( \int \frac{d}{dr} \textit{Area} = \textit{Area} \)，而不是繁琐的 \( \int_0^r \left( \frac{d}{dr} \textit{Area} \right) \ dr = \textit{Area} \)。
6.4 学习规则
在算术中，我们学习了组合整数、小数、分数以及根/幂的特殊技巧。 尽管 \( 3 + 9 = 12 \)，我们不能假设 \( \sqrt{3} + \sqrt{9} = \sqrt{12} \)。
同样，我们需要学习积分/导数在相加、相乘等情况下的运算规则。 是的，特殊类别有复杂的规则（如何处理e^x、自然对数、正弦、余弦等），但我不担心这个。 让我们先非常熟练地掌握基础知识。 复杂的东西可以等一等。
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