13.1 结合视角

想象一个有相互作用部门的企业，或者一台有相互连接部件的机器。 当我们做出改变时会发生什么？ 每个部分都有潜在的影响。

如果我们的企业有4个部门，我们做出政策改变，就有4个视角需要考虑。 写出来听起来很简单：每当发生变化时，看看每个部分会发生什么！

无论部分F和G之间的具体相互作用是什么（加法、减法、乘法、指数……），我们只有两个视角需要考虑：

啊哈！ 这就是为什么\( (f + g)' \)和\( (f \cdot g)' \)的规则是两个相加的视角的原因。 \( \frac{1}{X} \)的导数(Derivative)只有一个视角，因为只有一个「移动部分」x。 （如果你愿意，「1」确实有一个关于它所经历变化的贡献：什么都没有。 无论你怎么大喊，1还是1。）

一个视角的确切贡献取决于相互作用：

• 对于加法，每个部分增加一个直接变化（\( df + dg \)）。
• 对于乘法，每个部分认为它会增加一个矩形条（\( f \cdot dg + g \cdot df \)）。 （我用\( df \)而不是\( f' \)来帮助我们思考正在添加的切片。）

你可能会忘记乘法法则的确切形式。 但你可以想「\( f \cdot g \)的导数一定是包含\( df \)的东西加上包含\( dg \)的东西。」

让我们更进一步：\( a \cdot b + c \)的导数呢？ 你猜对了，3个应该相加的视角：包含\( da \)的东西加上包含\( db \)的东西加上包含\( dc \)的东西。

我们可以预测复杂方程的导数形状。 下面这个的导数是什么：

哇。 我不能脱口而出，但我可以说它会包含4个加法项（\( dx \)、\( dy \)、\( du \)和\( dv \)）。 猜出导数的形状，即使你不知道确切的表达式。

为什么这行得通？ 嗯，假设我们有一个同时受\( da \)和\( db \)影响的变化，比如\( 15 \cdot da \cdot db \)——那就是我们的仪器在干扰自身！

只有单个变量的直接变化被计算（如\( 3 da \)或\( 12 db \)），而「变化上的变化」如\( 15 \cdot da \cdot db \)被忽略。

13.2 维度直觉

记住导数(Derivative)是一种更高级的除法形式。 当我们做像\( \frac{x^3}{x} \)这样的除法时会发生什么？ 我们用体积除以长度，得到面积（降低一个维度）。

当我们做\( \frac{d}{dx} x^3 \)时会发生什么？ 你可能还不知道，但你可以打赌我们会降低一个维度。

当我们做除法或求导时，我们降低一个维度并在表格中向下跳一格。 体积由面积构成（厚度为\( dx \)的切片），面积由长度构成（宽度为\( dx \)的线条）。

一个常数值，比如3，在以下意义上没有维度：它永远不会产生一组切片。 永远不会跳到下一个值。 一旦我们有了一个常数值，我们就会在表格上「卡住」，因为0模式总是产生另一个0模式（体积→面积→线条→常数→零→零……）。

我们也可以有负维度：「每长度」、「每面积」、「每体积」等。 导数(Derivative)仍然会降低维度，所以当看到\( \frac{1}{x} \)时，我们知道导数会类似于\( \frac{1}{x^2} \)，因为维度下降了一级。

一个重要的警告：微积分(Calculus)只关心数量，不关心它们的维度。 方程会愉快地组合\( x \)和\( x^2 \)，即使我们知道你不能把长度和面积混在一起。 单位从方程外部增加了一层意义，这有助于保持事物的组织性，并在我们出错时发出警告（如果你对面积求导却得到体积，你就知道出问题了）。

13.3 用维度思考

你可以不用深入研究具体公式就能思考导数的维度。 想象以下场景：

• 拿一根绳子，把它紧紧绕在一枚25美分硬币上。 再拿另一根绳子，把它紧紧绕在地球上。
• 把两根绳子都加长，在末端增加更多绳子，这样硬币周围就有1英寸的间隙，地球周围也有1英寸的间隙（就像土星周围漂浮的环一样）。
• 问题：哪个场景需要更多的额外绳子？ 是在硬币周围留1英寸间隙需要更多绳子，还是在地球周围留1英寸间隙需要更多绳子？

我们可以通过公式计算，但让我们从更高层次思考。 因为周长是一维的线，它对变化的反应（导数）将是一个常数。 无论当前大小如何，每次推动周长都会变化相同的量。 所以，两者需要的额外绳子是一样的！ （半径每增加1英寸，大约增加6.28英寸）。

现在，假设我们是在给球体刷漆而不是绕绳子。 啊，嗯，面积是平方的，因此导数是低一个维度的（线性的）。 如果我们有一个5英寸和一个10英寸的球体，每个都增大1英寸，较大的球体将需要两倍的额外油漆。

13.4 问题

让我们思考一下\( x^3 \)的导数，一个正在生长的立方体。

1) \( x^3 \)的导数应该有什么维度？

2) \( x^3 = x \cdot x \cdot x \)应该涉及多少个视角？

3) 对导数有什么猜测吗？ 它与你想象的立方体生长方式一致吗？