10.1 类比：测量心率

想象你是一名医生，正试图测量病人运动时的心率。你把一个人放到跑步机上，绑上电极，让他跑起来。机器显示每分钟180次心跳。那一定是他的心率，对吧？

不对。那是他被医生观察且浑身贴满电极时的心率。那种场景难道不会有压力吗？而且如果你那尼克松时代的电极自己缠在一起，在他跑步时拉扯他的腿呢？

啊。我们需要电极来进行一些测量。但是，在那之后，我们需要去除电极本身的影响。例如，如果我们测量到180次/分钟，并且知道电极增加了5次/分钟的压力，我们就知道真实心率是175。

关键是先进行有已知缺陷的测量，得到读数，然后修正它，就好像仪器从来不存在一样。

10.2 测量导数

测量导数(Derivative)就像把电极贴到函数上让它跑起来。对于\( f(x) = x^2 \)，我们给它接上\( +1 \)的电极，看看它如何反应：

水平条是我们沿形状顶部施加变化的结果。垂直条是我们沿侧边移动的变化。那角落是什么？

它是水平变化和垂直变化相互作用的部分！这就像电极自己缠在一起了，是一种测量假象，需要去掉。

10.3 扔掉人为的结果

微积分(Calculus)的创立者凭直觉认识到变化的哪些成分是"人为的"，然后直接把它们扔掉。他们看到角落那块是我们的测试测量与自身相互作用的结果，不应该被包含在内。

在现代，我们创建了关于如何做到这一点的正式理论：

• 极限(Limit)：我们让测量假象变得越来越小，直到它们实际上消失（无法与零区分）。
• 无穷小(Infinitesimal)：创造一种新型的数，让我们在一个独立的微小数系上尝试无穷小的变化。当我们把结果带回到我们的常规数系时，人为的元素就被移除了。

有整整几门课在探讨这些理论。实际的收获是认识到如何进行测量，然后扔掉我们不需要的部分。

下面是用极限定义导数的方式：

哇！我们自己找到了\( \frac{d}{dx} x^2 \)的官方导数：

现在，有几个问题：

• 为什么我们测量\( \frac{df}{dx} \)，而不是实际变化\( df \)？把\( df \)看作我们迈出一步时发生的全部变化。为了便于与其他函数比较，我们通常想要"每一步"的变化\( \frac{df}{dx} \)。（这就像用美元/小时而不是用总薪资来比较工作，或者用每加仑英里数而不是用总耗油量来比较汽车。）有时总变化也是有用的参考，我们可以把\( \frac{df}{dx} = 2x \)改写为\( df = 2x \cdot dx \)。
• 为什么我们最后可以直接把\( dx \)设为零？我把\( dx \)看作用来测量函数变化的仪器尺寸。在用真实仪器得到测量值（\( \frac{df}{dx} = 2x + dx \)）之后，我们推算出如果仪器是完美的且不会产生干扰，测量值会是什么（\( \frac{df}{dx} = 2x + 0 = 2x \)）。
• 但是\( 2x + 1 \)的模式不对吗？整数之间的间隔是1，所以假设\( dx = 1 \)（不让它消失）是准确的：\( 2x + 1 \)正确预测了\( 2^2 \)和\( 3^2 \)之间的差为5。然而，小数（实数）在相邻数之间没有固定间隔。\( 2x \)是\( 2^2 \)和紧随其后的无穷接近数之间变化率的理想估计——不是2.0001，也不是2.0000000001，而是下一个未命名的数。换句话说，如果\( dx \)不消失，我们就是在说实数之间有固定间隔，就像整数一样。
• 如果没有'+1'，那角落什么时候被填满？想想面积的变化，而不是图的具体细节。那个角落高估了这一步增长了多少（也就是说，雷达测出我们是\( 2x + 1 \)，但我们实际只增长了\( 2x \)）。但我们仍在移动并取得进展。

  我想象一个正方形通过向外鼓出它的边来增长（\( x + x = 2x \)），然后吸收新的面积来形成一个更大的正方形。新尺寸更大了，但还没有大到刚好填满角落。没关系，因为随着时间推移，这个过程仍会包含必要的面积。\( 2x + 1 \)高估了我们的增长，因为它假设水平和垂直切片相互作用产生了角落那块。

实用结论：我们可以从一个有已知缺陷的测量开始，\( f'(x) \sim 2x + dx \)，然后推导出它指向的完美结果：\( f'(x) = 2x \)。关于我们究竟如何扔掉\( dx \)的理论，今天不需要掌握。关键是认识到存在测量假象——就像照片中相机的影子——必须移除它们才能准确描述真实行为。

（对于\( dx \)究竟如何出现又消失仍然感到不安？你不是一个人。这个问题花了顶级数学家几十年才解决。这里有一个关于该理论如何运作的更深入讨论。）