第3章 扩展我们的直觉
我希望你思考过上节课的问题：我们如何将X射线(X-Ray)策略扩展到第三维度？
以下是我的看法：
- 圆环变成了壳层(shells)，就像美味的硬糖球外厚厚的糖衣。每一层都比前一层稍大一点。
- 切片变成了楔形(wedges)，就像橙子瓣一样相同的部分。
- 木板变成了圆盘(plates)，可以堆叠在一起的厚圆盘。（我有时会幻想开一家只供应球形煎饼堆的民宿。）
三维的片段可以看作是由它们的二维对应物构成的。例如，我们可以像旋转硬币一样旋转一个单独的圆环来创建一个壳层。一个楔形看起来就像一堆（不同大小的）披萨片叠在一起。最后，我们可以想象旋转一块木板来制作一个圆盘，就像用车床雕刻木球一样（视频）。
三维中的权衡与二维版本类似：
- 有机过程是逐层壳层生长的（牡蛎中的珍珠）。
- 公平分割需要楔形（给朋友切苹果）。
- 机器人式的圆盘方法似乎易于制造（举重片）。
橙子是一个有趣的混合体：从外面看，它似乎是由壳层构成的，随时间生长。但在内部，它形成了带有楔形的对称内部结构——这有利于均匀分布种子，对吧？我们可以用两种方式来分析它。
3.1 探索三维视角
在第一课中，我们有一个模糊的概念，即圆/球的公式是相关的：
凭借我们的X射线和延时(Time-Lapse)技能，我们对如何关联有了具体的想法：
- 周长(Circumference)：从一个圆环开始。
- 面积(Area)：通过逐环的延时来制作一个实心圆盘。
- 体积(Volume)：将圆变成圆盘，然后通过逐盘的延时来构建一个球。
- 表面积(Surface area)：用X射线将球分解成一堆壳层；最外层的壳就是表面积。
哇！现在我们对一个公式如何与另一个公式相关有了详细的描述。我们直观地知道，如何通过思考"对这个进行延时"或"对那个进行X射线"来将形状变形为替代版本。我们甚至可以反向工作：从一个球开始，我们可以用X射线将其分解成圆盘，然后取一个圆盘再用X射线将其分解成圆环。
3.2 数学符号的必要性
你可能已经注意到，描述你的想法变得越来越难了。我们正在借助物理类比（圆环、木板、楔形）来解释我们的计划："好吧，拿那个圆形区域，试着用它做一些圆盘。对，就像那样。现在把这些圆盘排成球形……"。
我喜欢图表和类比，但它们应该是必须用来解释一个想法的吗？可能不需要。
看看数字是如何发展的。起初，我们用非常字面的符号来计数：I、II、III等等。最终，我们意识到像V这样的符号可以代替IIIII，更好的是，每个数字都可以有自己的符号。（数字"1"让我们想起了我们基于线条的历史。）
数学符号在几个方面有所帮助：
- 符号比文字更短。"2 + 3 = 5"难道不比"二加三等于五"更好吗？有趣的事实：1557年，罗伯特·雷科德（Robert Recorde）发明了等号，用两条平行线（=）书写，因为"没有任何两件东西能比它们更相等"。（我同意！）
- 规则为我们代劳。使用罗马数字，我们基本上是用手重新创建数字（为什么VIII比I写起来要费劲得多？就因为8比1大吗？这不是个好理由！）。十进制帮助我们"完成"表达数字的工作，并使它们易于操作。到目前为止，我们一直在自己做微积分的工作：把一个圆切成圆环，意识到我们可以把它们展开，查找面积的方程并测量得到的三角形。规则难道不能在这里帮助我们吗？当然可以。我们只需要把它们找出来。
- 我们泛化了我们的思维。"2 + 3 = 5"实际上是"二性 + 三性 = 五性"。这听起来很奇怪，但我们有一个抽象的量（不是人、不是钱、不是牛……只是"二性"），我们看到它与其他量的关系。算术规则是通用的，我们的工作是将它们应用到特定场景中。
最后一点很重要。学习加法时，你的老师可能用真实的苹果来演示二加三等于五。通过足够的练习，你开始使用抽象符号而不需要物理例子，"2 + 3 = 5"就有意义了。
微积分(Calculus)是类似的：它适用于像 \( f(x) = x^2 \) 这样的抽象方程，但物理例子是一个很好的起点。当我们看到这样的形状时：
当我们应用一种技术时，我们实际上可以看到微积分做了什么，而不是摆弄符号。最终，我们可以将形状转换为其对应的方程，并直接使用符号进行工作。
所以，不要认为微积分需要真实世界的对象，就像加法不需要苹果一样。它可以分析任何形状或公式（物理方程、商业场景、函数图）——形状只是更容易开始的东西。
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