第5章 来自机器的音乐
在前面的课程中，我们逐渐磨砺了我们的直觉：
- 欣赏：我认为可以把一个圆拆分来测量它的面积
- 自然描述：从中心向外把圆分成圆环，就像这样：
- 正式描述：对 2 * pi * r * dr 从 r=0 到 r=r 积分
- 执行：（叹气）我想我得开始测量面积了……
等等！我们的正式描述足够精确，计算机可以为我们完成这项工作：
哇！我们把想法描述得足够好，以至于计算机完成了跑腿的工作。
我们不需要手动展开圆环、画三角形并求出面积（在这种情况下并不太难，但可能会很难）。我们看到了步骤是什么，把它们写下来，然后喂给计算机：嘣沙卡拉卡，我们得到了结果。（现在只需要担心"定积分(definite integral)"部分。）
那么，导数呢，用X射线把一个模式分解成步骤？嗯，我们也可以要求那样：
与上面类似，计算机用X射线照射面积公式，并在移动时逐步分解它。结果是 \( 2 \pi r \)，即每个位置上环的高度。
5.1 看看语言的实际应用
Wolfram Alpha 是一个易于使用的工具：微积分问题的一般格式是
对[方程]从[变量=起点]到[变量=终点]积分对[方程]求关于[变量]的导数
这有点啰嗦。这些快捷方式更接近数学符号：
\int [方程] dr— 对...积分方程（默认情况下，假设我们从 \( r=0 \) 到 \( r=r \)，即最大值）d/dr 方程— 对方程求关于 \( r \) 的导数- 指数有快捷方式（
3^2 = 9）、乘法（3 * r）和开方（sqrt(9) = 3）
既然我们有了这台方便的机器，让我们试试到目前为止我们看到的一些结果：
点击正式描述，看看计算机处理数字。正如你可能预料的那样，它们都得出了熟悉的面积公式。几点说明：
- 楔形的大小是 \( \frac{1}{2} \textit{底} \cdot \textit{高} \)。底是 \( dp \)（周长的微小部分），高是 \( r \)，即从周长回到中心的距离。
- 木板的大小很棘手。在x和y坐标方面，根据勾股定理(Pythagorean Theorem)，我们有 \( x^2 + y^2 = r^2 \)：
我们求解高度得到 \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \)。我们实际上需要2个高度副本，因为 \( y \) 是轴上方的正距离，而木板在轴上方和下方都延伸。木板更难处理，而且不只是你这样觉得：Wolfram Alpha 计算这个积分比其他积分花的时间更长！
到目前为止的方法是让你沉浸在微积分思维中，并逐步引入符号。其中一些可能是一阵旋风——这是完全预期的。你坐在咖啡馆里，无意中听到用外语的对话。
既然你脑子里有了声音，我们就开始逐步探索细节。
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