第7章 了解直线如何运作
让我们从分析一个相当简单的模式开始，一条直线：
用日常的话来说，我们输入一个输入值 \( x \)，然后得到一个输出值 \( f(x) \)。 假设我们在买栅栏。 我们每要一英尺（输入 \( x \)），就要花4美元（输出 \( f(x) \)）。 3英尺的栅栏要花12美元。 很合理。
注意，抽象公式 \( f(x) = 4x \) 只考虑数值量，而不考虑它们的单位（英尺、美元等）。 我们可以写成一英尺栅栏要400便士（\( f(x) = 400x \)），这要靠我们意识到这是同一个场景。 微积分(Calculus)中的一个大陷阱是要意识到 \( x \)、\( dx \) 及其伙伴有大小——但没有单位——我们最终会将它们解释为面积、体积、美元、便士等。 在数学世界里，一切都是数字。
7.1 求直线的导数
一个模式的导数(Derivative) \( \frac{d}{dx}f(x) \) 是当我们改变输入变量（这里 \( x \) 是自然的选择）时得到的一系列切片。 我们如何找出这一系列步骤呢？
嗯，我想象着去家得宝(Home Depot)纠缠店员：
你：我想买些木材。 要花多少钱？
店员：你要多少？
你：嗯……我想要1英尺。
店员：一共4美元。 还有什么需要帮忙的吗？
你：实际上，可能要2英尺。
店员：一共8美元。 还有什么需要帮忙的吗？
你：可能要3英尺。
店员：（叹气）一共12美元。 还有什么需要帮忙的吗？
你：4英尺怎么样？
我们有一个关系（\( f(x) = 4x \)），并通过稍微改变输入来研究它。 我们看看输出是否有变化（确实有！），然后我们再改变输入，依此类推。
在这种情况下，很明显每增加一英尺栅栏，成本就增加4美元。 所以我们刚刚确定导数是常数4，对吧？
别那么快下结论。 当然，我们思考了这个过程并解决了它，但让我们更有条理一点（不是每个模式都这么简单）。 我们能描述一下我们的步骤吗？
- 获取当前输出 \( f(x) \)。 在我们的例子中，\( f(1) = 4 \)。
- 向前迈出 \( dx \)（例如1英尺）
- 找到新的数量 \( f(x + dx) \)。 在我们的例子中，是 \( f(1 + 1) = f(2) = 8 \)。
- 计算差值：\( f(x + dx) - f(x) \)，即 8 - 4 = 4
啊！ 下一步和当前步骤之间的差值就是我们切片的大小。 对于 \( f(x) = 4x \)，我们有：
长度增加 \( dx \)，成本就增加 \( 4 \cdot dx \)。
这个说法是对的，但有点别扭：它说的是总变化。 有一个比率不是更好吗，比如"每英尺成本"？
我们可以用几个快捷方式来提取比率：
- \( dx \) = 输入的变化量
- \( df \) = 输出的结果变化量，即 \( f(x + dx) - f(x) \)
- \( \dfrac{df}{dx} \) = 输出变化与输入变化的比率
在我们的例子中，我们有
注意我们是如何将导数表示为 \( \frac{df}{dx} \) 而不是 \( \frac{d}{dx}f(x) \) 的。 怎么回事？ 原来我们可以使用几种不同的版本。
想想我们表达乘法的各种方式：
- 乘号：3 \( \times \) 4（小学时用）
- 点号：3 \( \cdot \) 4（中学时用）
- 用括号表示的隐含乘法：\( (x + 4)(x + 3) \)
- 用空格表示的隐含乘法：\( 2\pi r \ dr \)
符号越隐晦，我们就越关注量之间的关系；符号越明显，我们就越关注计算。
导数的表示法也是类似的：
有些版本，比如 \( f'(x) \)，提醒我们步骤序列是原始模式的一种变体。 像 \( \frac{df}{dx} \) 这样的表示法让我们进入细节导向模式，思考输出变化相对于输入变化的比率 (“每增加一英尺的成本是多少？”).
记住，导数是对所有步骤的完整描述，但它可以在某个特定点求值以找到那里的步骤： 当 \( x = 3 \) 时，每英尺的额外成本是多少？ 在我们的例子中，答案是4。
以下是计算机对这个问题的返回结果：
很好！ 正如我们所怀疑的，随着 \( x \) 的增加，模式 \( f(x) = 4x \) 以常数4变化。
7.2 求常数的积分
现在让我们朝另一个方向工作：给定步骤序列，我们能找到原始模式的大小吗？
在我们建栅栏的场景中，这相当简单。 求解
意味着回答“什么模式的输出变化是输入变化的4倍？”。
嗯，我们刚刚看到 \( f(x) = 4x \) 会产生 \( f'(x) = 4 \)。 所以，如果给定 \( f'(x) = 4 \)，我们可以猜测原始函数一定是 \( f(x) = 4x \)。
我很确定我们是对的（4的积分还能是什么呢？），但让我们和计算机比较一下：
哇——有两个不同的答案（定积分和不定积分）。 为什么？ 嗯，有很多函数可以让成本以4美元/英尺增加！ 这里有几个：
- 成本 = 每英尺4美元，即 \( f(x) = 4x \)
- 成本 = 4美元 + 每英尺4美元，即 \( f(x) = 4 + 4x \)
- 成本 = 10美元 + 每英尺4美元，即 \( f(x) = 10 + 4x \)
可能有一个固定的每单费用，再加上栅栏的成本。 方程 \( f'(x) = 4 \) 只说每增加一英尺栅栏是4美元，但我们不知道起始条件。
- 定积分(Definite Integral)追踪一定数量切片的累积。 范围可以是数字，比如 \( \int_0^{13} 4 \)，它测量从x=0到x=13的切片（13 \( \cdot \) 4 = 52）。 如果范围包含变量（0到x），那么累积将是一个方程（\( 4x \)）。
- 不定积分(Indefinite Integral)找到创建步骤模式的实际公式，而不仅仅是该范围内的累积。 它只用积分符号书写：\( \int f(x) \)。 正如我们所见，原始函数的可能性应该允许有一个起始偏移量C。
积分的表示法可能很随意，这让人困惑。 我们是在找累积，还是原始函数？ 我们省略了 \( dx \) 吗？ 这些细节经常被省略，所以重要的是要感受发生了什么。
7.3 秘密：我们可以反向工作
积分的小秘密是我们不需要直接求解它们。 与其试图把切片粘在一起来找出它们的面积，我们只需学会识别我们已经见过的函数的导数。
如果我们知道4x的导数是4，那么如果有人问4的积分，我们可以回答“4x”（当然，加上C）。 这就像记住数字的平方，而不是平方根。 当有人问121的平方根时，回想一下并记住11 \( \times \) 11 = 121。
打个比方：想象一个古董商，他只看到一堆碎片就能知道原来的花瓶。
他是怎么做到的？ 嗯，他在后面的房间里拿复制品，把它们摔碎，然后观察碎片的模式。 然后他走到你的碎片堆前说：“哦，我想这一定是第三任皇帝时期的明朝花瓶。”
他不会试图把你的碎片粘回去——他只是以前见过那个花瓶摔碎的样子，而你的碎片看起来一样！
现在，可能有一些他从未见过的碎片堆，很难或不可能识别。 在那种情况下，他能做的最好的事情就是把碎片加起来（很可能用计算机）。 他可能会确定原来的花瓶重13.78磅。 这是一个数据点，很好，但不如知道花瓶打碎前是什么好。
这个见解从来没有真正向我解释过：直接把（可能变化的）步骤加起来是很痛苦的，尤其是当模式变得复杂时。 所以，只需学会从我们已经见过的导数中识别模式。
7.4 迈向更好的乘法
把大小相等的步骤粘在一起看起来就像普通的乘法，对吧？ 当然。 如果我们想要3个大小为2的步骤（0到1，1到2，2到3），我们可以写成：
同样，这是一种花哨的说法：“累积3个大小为2的步骤：总共得到多少？”. 我们正在对一系列相等的变化进行延时拍摄。
现在，假设有人让你计算 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2。 你可能会说：天哪，你不能写得更简单些吗？ 你知道的，比如这样：
7.5 创建抽象规则
知道线性函数是如何运作的了吗？ 太好了。 我们可以制定一些抽象规则——就像我们自己制定代数规则一样。
如果我们知道输出是输入的缩放版本（\( f(x) = ax \)），那么导数（变化模式）是
而积分（累积模式）是
也就是说，每个输出步骤与每个输入步骤的比率是一个常数 \( a \)（在我们上面的例子中是4）。 现在我们已经打碎了花瓶，我们可以反向工作：如果我们累积大小为 \( a \) 的步骤，它们一定来自类似于 \( a \cdot x \) 的模式（当然，加上C）。
注意我写的是 \( \int a \) 而不是 \( \int a \ dx \)——我想把重点放在 \( a \) 上，而不是像步骤宽度（\( dx \)）这样的细节上。 微积分的一部分就是学会暴露适当数量的细节。
最后一点：如果我们的输出对输入完全没有反应（无论你买多少，我们都收你固定的2美元……包括什么都不买！） 那么“步骤”就是常数0：
换句话说，前后测量没有差异。 现在，如果一个模式暂时静止不动，它可能偶尔会有一个零切片。 没问题。 但如果每个切片都是零，那就意味着我们的模式永远不会改变。
以后会有一些微妙之处，但让我们先学会说“我想要食物”，然后再说“诚然，我饿了”。
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